Родился 6 июня 1955 г. в г.Фрунзе Казахской ССР, где семья Чилиева оказалась вследствие депортации ингушского народа в Центральную Азию и Сибирь.
После возвращения из ссылки семья Чилиевых поселилась в посёлке Карца, который находится на территории Пригородного района, на тот момент по личному указу Сталина уже переданного под юрисдикцию Северо-Осетинской АССР. Окончив школу в пос.Карца, Муса Чилиев в 1972 г. поступил в Чечено-Ингушский Государственный Университет, который успешно окончил в 1977 г.
Молодой преподаватель русского языка и литературы оказался востребован в родном поселке, где М.Чилиев проработал два года по своей специальности, после чего был назначен директором школы. Чилиев, который на тот момент уже был кандидатом в мастера спорта по боксу, стал одновременно и руководителем боксерского клуба. Многие выпускники этого клуба в последствие стали чемпионами мира.
С 1987 г. М.Чилиев работал по контракту в Сирии, где преподавал русский язык летчикам, которые осваивали советские самолеты-истребители в рамках советско-сирийского сотрудничества. За четырехлетнюю работу в Сирии Чилиев награжден армейским орденом.

В 1990-х годах Муса Чилиев переехал на постоянное жительство в Москву и занялся бизнесом.

В 2004 г. М.Чилиев занимает пост заместителя руководителя одного из департаментов в Министерстве труда и социального развития России. Работая на этой должности он был награжден медалью "За заслуги в социально-трудовой сфере" 2-й степени.

В 2009 г. указом президента Ингушетии Ю-Б.Евкурова Муса Чилиев назначается на должность министра финансов, а также заместителя председателя Правительства Республики Ингушетия.

10 марта 2010 г. М.Чилиев был назначен и.о. председателя правительства Ингушетии.

21 марта 2011 г. на заседании парламента Ингушетии Муса Чилиев утверждён в должности премьер-министра республики. За назначение Чилиева высказались 20 депутатов ингушского парламента, один выступил против.

Муса Чилиев женат, у него двое сыновей и двое дочерей.